Impuls dan Momentum

Jika anda menggunakan HP maka gunakan mode LANDSCAPE agar equation tidak terpotong

A. MOMENTUM

Momentum adalah ukuran kesukaran untuk menghentikan atau menggerakkan suatu benda. Ukuran kesukaran itu dipengaruhi oleh massa dan kecepatan benda tersebut. Sehingga momentum didefinisikan sebagai hasil kali antara massa dan kecepatan. 

Rumus:

$p=mv$

Dengan:

p	= momentum (kg.m/s)
m	= massa (kg)
v	= kecepatan (m/s)

Hukum Kekekalan Momentum

Hukum kekekalan momentum berbunyi "Jumlah momentum awal sama dengan jumlah momentum akhir." Secara matematis dapat ditulis:

\[\begin{eqnarray} \sum {{p_{{\rm{sebelum}}}}} &=& \sum {{p_{{\rm{sesudah}}}}} \\ {p_1} + {p_2} &=& {p_1}^\prime + {p_2}^\prime \\ {m_1}{v_1} + {m_2}{v_2} &=& {m_1}{v_1}^\prime + {m_2}{v_2}^\prime \end{eqnarray}\]
Contoh Soal

1. Sebuah mobil bermassa 0,2 ton melaju dengan kecepatan 36 km/jam. Besar momentum mobil tersebut adalah...kg m/s. 
   Pembahasan: 
$m = 0,2{\text{ ton}} = 200{\text{ kg}}$
$v = 36{\text{ km/jam}} = 36 \times \frac{{{\text{1.000 m}}}}{{{\text{3600 s}}}} = 10{\text{ m/s}}$
$p = mv = 200 \cdot 10 = \boxed{2.000{\text{ kg m/s}}}$


2. Mobil A bermassa 200 kg bergerak dengan kecepatan 30 m/s ke utara dan mobil B bermassa 200 kg bergerak dengan kecepatan 40 m/s ke arah timur. Resultan momentum kedua mobil tersebut beserta arahnya adalah...
Pembahasan:



$ \begin{align} p_{A} & = m_{A} \cdot v_{A} \\ & = 200 \cdot 30 \\ &= 6.000 {\text{ kg m/s ke utara}} \end{align} $ $ \begin{align} p_{B} & = m_{B} \cdot v_{B} \\ & = 200 \cdot 40 \\ &= 8.000 {\text{ kg m/s ke timur}} \end{align} $ $ \begin{align} p_{R} & = \sqrt{{p_A}^2 + {p_B}^2} \\ & = \sqrt{6.000^{2} +8.000^{2} } \\ & = \boxed{10.000{\text{ kg m/s}}} \end{align} $ $ \begin{align}\\ \tan \theta &= \frac{{{p_A}}}{{{p_B}}} = \frac{{6.000}}{{8.000}} = \frac{3}{4}\\ \theta &= {\tan ^{ - 1}}\frac{3}{4}\\ &= \boxed{37^\circ }\\ \end{align} $


3. Seorang pria menembakkan peluru dari sebuah senapan bermassa 20 kg. Jika massa peluru 0,2 kg dan peluru keluar dari senapan dengan kecepatan 100 m/s maka berapa besar kecepatan senapan saat terdorong ke belakang?
Pembahasan:
${m_s} = 20{\text{ kg}}{\text{, }}{m_p} = 0,2{\text{ kg}}{\text{, }}{v_p}^\prime = 100{\text{ m/s}}$
${v_s}^\prime = ...?$
${m_p}{v_p} + {m_s}{v_s} = {m_p}{v_p}^\prime + {m_s}{v_s}^\prime$

perhatikan bahwa momentum sistem sebelum adalah nol karena tidak ada benda yang bergerak. 
$0 = 0,2 \cdot 100 + 20{v_s}^\prime$
${v_s}^\prime = \frac{{ - 20}}{{20}} = \boxed{ - 1{\text{ m/s}}}$

tanda minus menunjukkan bahwa senapan bergerak berlawanan arah dengan arah gerak peluru. 


4. Perahu bermassa 100 kg dinaiki oleh seorang nelayan bermassa 50 kg. Awalnya perahu tersebut bergerak dengan kecepatan 4 m/s. Tentukan kecepatan perahu tersebut jika: a) nelayan melompat searah gerak perahu dengan kecepatan 2 m/s; b) nelayan melompat berlawanan arah perahu dengan kecepatan 2 m/s; c) nelayan melompat ke arah samping perahu dengan kecepatan 2 m/s (asumsi tidak ada perubahan arah gerak perahu).
Pembahasan:

Kita asumsikan perahu bergerak ke kanan. Sehingga arah kanan positif dan arah kiri negatif.
a) Solusi
$ \begin{align} {m_p} &= 100{\text{ kg}}{\text{, }}{m_n} = 50{\text{ kg}}{\text{, }}\\ {v_p} &= {v_n} = 4{\text{ m/s}}{\text{, }}{v_n}^\prime = 2{\text{ m/s}}\\ \end{align} $

$ \begin{align} ({m_p} + {m_n}){v} &= {m_p}{v_p}^\prime + {m_n}{v_n}^\prime\\ ( {100 + 50})4 &= 100 \cdot {v_p}^\prime + 50 \cdot 2\\\ {v_p}^\prime &= \frac{{600 - 100}}{{100}}\\\ {v_p}^\prime &= \boxed{5{\text{ m/s}}}\ \end{align} $

b) Solusi
$ \begin{align} {m_p} &= 100{\text{ kg}}{\text{, }}{m_n} = 50{\text{ kg}}{\text{, }}\\ {v_p} &= {v_n} = 4{\text{ m/s}}{\text{, }}{v_n}^\prime = -2{\text{ m/s}} \end{align} $

$ \begin{align} ({m_p} + {m_n}){v} &= {m_p}{v_p}^\prime + {m_n}{v_n}^\prime\\ ( {100 + 50})4 &= 100 \cdot {v_p}^\prime + 50 \cdot -2\\\ {v_p}^\prime &= \frac{{600 + 100}}{{100}}\\\ {v_p}^\prime &= \boxed{7{\text{ m/s}}}\ \end{align} $


c) Solusi
Dalam kasus ini kecepatan perahu kita anggap sejajar sumbu x, sedangkan ketika nelayan melompat ke samping maka vektor kecepatan nelayan tidak sejajar dengan vektor kecepatan perahu. Dengan kata lain ${v_n}^\prime = 0{\text{ m/s}}$.

$ \begin{align} ({m_p} + {m_n}){v} &= {m_p}{v_p}^\prime + {m_n}{v_n}^\prime\\ ( {100 + 50})4 &= 100 \cdot {v_p}^\prime + 50 \cdot 0\\\ {v_p}^\prime &= \frac{{600 - 0}}{{100}}\\\ {v_p}^\prime &= \boxed{6{\text{ m/s}}}\ \end{align} $

B. IMPULS

Impuls adalah gaya yang bekerja pada benda pada selang waktu yang sangat singkat. Impuls yang bekerja pada suatu benda dapat digambarkan oleh grafik F-t seperti di bawah ini.

Besar impuls sama dengan luas grafik F-t dan secara matematis impuls adalah perubahan momentum atau hasil kali antara gaya dan perubahan waktu. Sehingga dapat ditulis:

\[\begin{eqnarray} I = {\text{luas daerah dari grafik }}F - t \\ I = F\Delta t = \Delta p = m\left( {{v_2} - {v_1}} \right) \end{eqnarray}\]

Dengan:

I	= Impuls (Ns)
F	= gaya (N)
Δt	= selang waktu (s)

Contoh Soal

1. Sebuah truk bermassa 500 kg menabrak sebuah pohon. Selang waktu tabrakan tersebut tercatat 0,1 s. Jika awalnya truk melaju dengan kecepatan 20 m/s dan kemudian diam setelah menabrak pohon tersebut maka tentukan: a) impuls truk; b) gaya yang diterima truk
Pembahasan: 
$ \begin{align} m &= 500{\text{ kg}}{\text{, }}\Delta t = 0,1{\text{ s}}{\text{, }}{v_1} = 20{\text{ m/s}}{\text{, }} \\ {v_2} &= 0{\text{ m/s}}{\text{, }}I = ...?{\text{, }}F = ...? \end{align} $

a) Solusi
$ \begin{align} I &= m\left( {{v_2} - {v_1}} \right) = 500\left( {0 - 20} \right)\\\ &= \boxed{ - 10.000{\text{ Ns}}} \end{align} $
tanda minus berarti impuls tersebut mengarah ke truk.

b) Solusi
$ \begin{align} F\Delta t = m\left( {{v_2} - {v_1}} \right) \to F &= \frac{{m\left( {{v_2} - {v_1}} \right)}}{{\Delta t}}\\ &= \frac{{ - 10.000}}{{0,1}} \\ &= \boxed{ - 100.000{\text{ N}}} \end{align} $
tanda minus berarti gaya tersebut mengarah ke truk.


2. Seorang pemain sepak bola menerima umpan datar dari rekannya yang ada di hadapannya. Bola tersebut dioper dengan kecepatan 1 m/s. Massa bola tersebut 1 kg, lalu pemain itu menendang bola dengan gaya sebesar 10 N berlawanan arah dengan arah operan tadi. Jika waktu kontak antara kaki pemain dan bola adalah 0,2 detik maka setelah ditendang bola akan bergerak dengan kecepatan...
   Pembahasan: 
$m = 1{\text{ kg}}{\text{, }}F = 10{\text{ N}}{\text{, }}\Delta t = 0,2{\text{ s}}{\text{, }}$
${v_1} = 1{\text{ m/s}}{\text{, }}{v_2} = ...?$
$F\Delta t = m\left( {{v_2} - {v_1}} \right)$
$10 \cdot 0,2 = 1\left( {{v_2} - 1} \right)$
${v_2} - 1 = 2$
${v_2} = \boxed{3{\text{ m/s}}}$


3. Sebuah roket yang bermassa total 0,75 ton dalam waktu 1 s mampu menyemburkan gas panas sebanyak 40 kg. Jika diketahui gas panas tersebut disemburkan keluar dari cerobong asap dengan kecepatan 250 m/s, perubahan perbandingan jumlah bahan bakar yang terbakar terhadap massa roket dianggap sangat kecil dan gesekan udara diabaikan, maka jarak jelajah roket dalam waktu 0,5 menit adalah…$\left( {g = 10{\text{ m/}}{{\text{s}}^2}} \right)$
Pembahasan:
$\begin{align} F\Delta t &= m\Delta v \hfill \\ {F_{{\text{dorong}}}} &= \frac{m}{{\Delta t}}\Delta v \hfill \\ {F_{{\text{dorong}}}} &= 40 \cdot 250 = 10.000\;{\text{N}} \hfill \\ \end{align} $

Menurut Hukum II Newton berlaku:

$\begin{align} \sum F &= ma \hfill \\ {F_{{\text{dorong}}}} - mg &= ma \hfill \\ a &= \frac{{{F_{{\text{dorong}}}} - mg}}{m} \hfill \\ a &= \frac{{10.000 - 750 \cdot 10}}{{750}}{\text{ }}\left( {{\text{massa roket = 0}}{\text{,75 ton = 750 kg}}} \right) \hfill \\ a &= \frac{{10}}{3}\;{\text{m/}}{{\text{s}}^2} \hfill \\ \end{align} $

Kita gunakan rumus GLBB untuk mencari jarak jelajah roket $\begin{align} h &= {v_0}t + \frac{1}{2}a{t^2}{\text{ }}\left( {{\text{catatan: }}{v_0} = 0} \right) \hfill \\ h &= 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{{10}}{3} \cdot {30^2}{\text{ }}\left( {{\text{catatan: 0}}{\text{,5 menit = 30 s}}} \right) \hfill \\ h &= \boxed{1.500{\text{ m}}} \hfill \\ \end{align} $


4. Perhatikan grafik di bawah ini!


Grafik di atas adalah grafik F (N) terhadap waktu t (s) pada sebuah benda bermassa 2 kg. Jika kecepatan benda pada detik ke-3 adalah 2 m/s maka kecepatan benda pada detik ke-12 sebesar…
Pembahasan: 
Perhatikan bahwa impuls = luas grafik yang terasir
$Luas\;grafik\;terasir = m\left( {{v_2} - {v_1}} \right)$
$\frac{{\left( {6 + 9} \right) \cdot 4}}{2} = 2\left( {{v_2} - 2} \right)$
${v_2} - 2 = 15$
${v_2} = \boxed{17{\text{ m/s}}}$

C. TUMBUKAN

Langkah-Langkah Penyelesaian Soal:

1) Gunakan hukum kekekalan momentum.
\[\begin{eqnarray} {m_A}{v_A} + {m_B}{v_B} = {m_A}{v_A}^\prime + {m_A}{v_A}^\prime \end{eqnarray}\] dengan perjanjian gerak ke kanan (+) dan ke kiri (–). Sehingga didapat persamaan dalam bentuk ${v_A}^\prime$ dan ${v_B}^\prime$ (persamaan (1))

2) Gunakan rumus koefisien restitusi.
\[ - \;e = \frac{{{v_A}^\prime - \;{v_B}^\prime }}{{{v_A} - \;{v_B}}}\]

Dengan nilai e:

Lenting sempurna e = 1

Lenting sebagian 0 < e < 1

Tidak lenting e = 0

Sehingga didapat persamaan dalam bentuk ${v_A}^\prime$ dan ${v_B}^\prime$ (persamaan (2)).

Catatan: Jika yang diketahui ada TIGA kecepatan (dua kecepatan awal dan salah satu kecepatan akhir maka langkah 2 dan seterusnya tidak diperlukan).

3) Eliminasi dan substitusi persamaan (1) dan (2).

4) Didapat nilai dan arah ${v_A}^\prime$ dan ${v_B}^\prime$.

Beberapa Kasus Khusus:

1) Tumbukan Lenting Sempurna Dengan Arah Berlawanan dan Kedua Benda Bermassa Sama.

Maka kedua benda akan bertukar kecepatan dan berbalik arah. Contoh: benda A ke kanan dengan kecepatan 3 m/s bertumbukan dengan benda B yang bergerak ke kiri dengan kecepatan 5 m/s. Maka setelah tumbukan ${v_A}^\prime$ = 5 m/s ke kiri dan ${v_B}^\prime$ = 3 m/s ke kanan.

2) Kasus Tumbukan Tak Lenting (Benda Saling Menempel Sesudah Tumbukan).

\[{m_A}{v_A} + {m_B}{v_B} = \left( {{m_A} + {m_B}} \right)v'\]

3) Kasus ayunan balistik.

\[{m_p}{v_p} = \left( {{m_p} + {m_b}} \right)\sqrt {2gh}\] \[h = L\left( {1 - \cos \theta } \right)\]
4) Kasus Bola Memantul di Lantai

\[e = \sqrt {\frac{{{h_2}}}{{{h_1}}}} = \frac{{{v_2}}}{{{v_1}}}\] 

Contoh Soal

1. Benda A bermassa 2 kg bergerak ke kanan dengan kecepatan 8 m/s menumbuk benda B bermassa 1 kg yang bergerak dengan kecepatan 10 m/s. Jika setelah tumbukan benda A bergerak ke kiri dengan kecepatan 1 m/s maka besar kecepatan dan arah benda B setelah tumbukan adalah...
   Pembahasan: 
   Perhatikan pada soal ini diketahui TIGA buah kecepatan jadi kita hanya menggunakan langkah 1 saja.
$ \begin{align} {m_A} &= 2{\text{ kg}}\\ {v_A} &= 8{\text{ m/s (ke kanan)}}\\ {{v_A}^\prime } &= -1{\text{ m/s (ke kiri)}} \end{align} $ $ \begin{align} {m_B} &= 1{\text{ kg}}\\ {v_B} &= -10{\text{ m/s (ke kiri)}}\\ {v_B}^\prime &= ...?\ \end{align} $

$ \begin{align} {m_A}{v_A} + {m_B}{v_B} &= {m_A}{v_A}^\prime + {m_B}{v_B}^\prime \\\ 2 \cdot 8 + 1 \cdot \left( { - 10} \right) &= 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot {v_B}^\prime \\\ {v_B}^\prime &= 6 + 2\\\ &= \boxed{7{\text{ m/s (ke kanan)}}}\ \end{align} $


2. Dua benda bermassa sama saling bertumbukkan dari arah berlawanan. Benda 1 mempunyai kecepatan 4 m/s mengarah ke kanan dan benda 2 mempunyai kecepatan 2 m/s mengarah ke kiri. Tentukan besar dan arah kecepatan masing-masing benda sesudah tumbukan!
Pembahasan: 
Karena tumbukan bersifat lenting sempurna dan kedua benda datang dari arah yang berlawanana maka setelah tumbukan kedua benda bertukar kecepatan dan arah. Sehingga benda 1 mempunyai kecepatan 2 m/s ke kiri dan benda 2 mempunyai kecepatan 4 m/s ke kanan.


3. Perhatikan gambar di bawah ini.
   
   Massa benda A = 2 kg dengan kecepatan 10 m/s dan massa benda B 3 kg. Tentukan kecepatan masing-masing benda jika:
1. tumbukan lenting sempurna dengan benda B diam
2. tumbukan lenting sempurna dengan ${v_B} = 4{\text{ m/s}}$ ke kiri
3. tumbukan lenting sempurna dengan ${v_B} = 6{\text{ m/s}}$ ke kanan
4. tumbukan lenting sebagian dengan ${v_B} = 6{\text{ m/s}}$ ke kiri dan $e$ = 0,5
5. tumbukan lenting sebagian dengan benda B diam dan $e$ = 0,5
6. tumbukan tak lenting dengan ${v_B} = 2{\text{ m/s}}$ ke kanan
7. tumbukan tak lenting dengan benda B diam
Pembahasan:
a. Solusi
$ \begin{align} {m_A} &= 2{\text{ kg}}\\ {v_A} &= 10{\text{ m/s (ke kanan)}}\\ \end{align} $ $ \begin{align} {m_B} &= 3{\text{ kg}}\\ {v_B} &= 0{\text{ m/s (diam)}}\\ \end{align} $

Langkah 1
$ \begin{align} {m_A}{v_A} + {m_B}{v_B} &= {m_A}{v_A}^\prime + {m_B}{v_B}^\prime \\ 2 \cdot 10 + 3 \cdot 0 &= 2{v_A}^\prime + 3{v_B}^\prime \\ 2{v_A}^\prime + 3{v_B}^\prime &= 20 \ldots (1)\\ \end{align} $

Langkah 2
$ \begin{align} - e &= \frac{{{v_A}^\prime - {v_B}^\prime }}{{{v_A} - {v_B}}}\\ - 1 &= \frac{{{v_A}^\prime - {v_B}^\prime }}{{10 - 0}}\\ {v_A}^\prime - {v_B}^\prime &= - 10 \ldots (2) \end{align} $

Langkah 3
Kita eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2) × 2
$ \begin{align} 2{v_A}^\prime + 3{v_B}^\prime &= 20\\ 2{v_A}^\prime - 2{v_B}^\prime &= - 20\;\quad - \\ \hline 5{v_B}^\prime & = 40\\ {v_B}^\prime &= \boxed{8{\text{ m/s}}} \end{align} $
Karena ${v_B}^\prime$ bernilai positif maka benda B setelah tumbukan bergerak ke kanan.
Selanjutnya, kita substitusikan nilai ${v_B}^\prime$ ke persamaan (2) didapat:
$ \begin{align} {v_A}^\prime - {v_B}^\prime = - 10\\ {v_A}^\prime - 8 = -10\\ {v_A}^\prime = \boxed{-2{\text{ m/s}}} \end{align} $
Karena ${v_A}^\prime$ bernilai negatif maka benda A setelah tumbukan bergerak ke kiri.

b. Solusi
$ \begin{align} {m_A} &= 2{\text{ kg}}\\ {v_A} &= 10{\text{ m/s (ke kanan)}}\\ \end{align} $ $ \begin{align} {m_B} &= 3{\text{ kg}}\\ {v_B} &= -4{\text{ m/s (ke kiri)}}\\ \end{align} $

Langkah 1
$ \begin{align} {m_A}{v_A} + {m_B}{v_B} &= {m_A}{v_A}^\prime + {m_B}{v_B}^\prime \\ 2 \cdot 10 + 3 \cdot (-4) &= 2{v_A}^\prime + 3{v_B}^\prime \\ 2{v_A}^\prime + 3{v_B}^\prime &= 8 \ldots (1)\\ \end{align} $

Langkah 2
$ \begin{align} - e &= \frac{{{v_A}^\prime - {v_B}^\prime }}{{{v_A} - {v_B}}}\\ - 1 &= \frac{{{v_A}^\prime - {v_B}^\prime }}{{10 - (-4)}}\\ {v_A}^\prime - {v_B}^\prime &= - 14 \ldots (2) \end{align} $

Langkah 3
Kita eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2) × 2
$ \begin{align} 2{v_A}^\prime + 3{v_B}^\prime &= 8\\ 2{v_A}^\prime - 2{v_B}^\prime &= - 28\;\quad - \\ \hline 5{v_B}^\prime & = 36\\ {v_B}^\prime &= \boxed{7,2{\text{ m/s}}} \end{align} $
Karena ${v_B}^\prime$ bernilai positif maka benda B setelah tumbukan bergerak ke kanan.
Selanjutnya, kita substitusikan nilai ${v_B}^\prime$ ke persamaan (2) didapat:
$ \begin{align} {v_A}^\prime - {v_B}^\prime = - 14\\ {v_A}^\prime - 7,2 = -14\\ {v_A}^\prime = \boxed{-6,8{\text{ m/s}}} \end{align} $
Karena ${v_A}^\prime$ bernilai negatif maka benda A setelah tumbukan bergerak ke kiri.

c. Solusi
$ \begin{align} {m_A} &= 2{\text{ kg}}\\ {v_A} &= 10{\text{ m/s (ke kanan)}}\\ \end{align} $ $ \begin{align} {m_B} &= 3{\text{ kg}}\\ {v_B} &= 6{\text{ m/s (ke kanan)}}\\ \end{align} $

Langkah 1
$ \begin{align} {m_A}{v_A} + {m_B}{v_B} &= {m_A}{v_A}^\prime + {m_B}{v_B}^\prime \\ 2 \cdot 10 + 3 \cdot (6) &= 2{v_A}^\prime + 3{v_B}^\prime \\ 2{v_A}^\prime + 3{v_B}^\prime &= 38 \ldots (1)\\ \end{align} $

Langkah 2
$ \begin{align} - e &= \frac{{{v_A}^\prime - {v_B}^\prime }}{{{v_A} - {v_B}}}\\ - 1 &= \frac{{{v_A}^\prime - {v_B}^\prime }}{{10 - 6}}\\ {v_A}^\prime - {v_B}^\prime &= -4 \ldots (2) \end{align} $

Langkah 3
Kita eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2) × 2
$ \begin{align} 2{v_A}^\prime + 3{v_B}^\prime &= 38\\ 2{v_A}^\prime - 2{v_B}^\prime &= - 8\;\quad - \\ \hline 5{v_B}^\prime & = 46\\ {v_B}^\prime &= \boxed{9,2{\text{ m/s}}} \end{align} $
Karena ${v_B}^\prime$ bernilai positif maka benda B setelah tumbukan bergerak ke kanan.
Selanjutnya, kita substitusikan nilai ${v_B}^\prime$ ke persamaan (2) didapat:
$ \begin{align} {v_A}^\prime - {v_B}^\prime = - 4\\ {v_A}^\prime - 9,2 = -4\\ {v_A}^\prime = \boxed{5,2{\text{ m/s}}} \end{align} $
Karena ${v_A}^\prime$ bernilai positif maka benda A setelah tumbukan bergerak ke kanan.

d. Solusi
$ \begin{align} {m_A} &= 2{\text{ kg}}\\ {v_A} &= 10{\text{ m/s (ke kanan)}}\\ \end{align} $ $ \begin{align} {m_B} &= 3{\text{ kg}}\\ {v_B} &= -6{\text{ m/s (ke kiri)}}\\ \end{align} $

Langkah 1
$ \begin{align} {m_A}{v_A} + {m_B}{v_B} &= {m_A}{v_A}^\prime + {m_B}{v_B}^\prime \\ 2 \cdot 10 + 3 \cdot (-6) &= 2{v_A}^\prime + 3{v_B}^\prime \\ 2{v_A}^\prime + 3{v_B}^\prime &= 2 \ldots (1)\\ \end{align} $

Langkah 2
$ \begin{align} - e &= \frac{{{v_A}^\prime - {v_B}^\prime }}{{{v_A} - {v_B}}}\\ - 0,5 &= \frac{{{v_A}^\prime - {v_B}^\prime }}{{10 - (-6)}}\\ {v_A}^\prime - {v_B}^\prime &= -8 \ldots (2) \end{align} $

Langkah 3
Kita eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2) × 2
$ \begin{align} 2{v_A}^\prime + 3{v_B}^\prime &= 2\\ 2{v_A}^\prime - 2{v_B}^\prime &= - 16\;\quad - \\ \hline 5{v_B}^\prime & = 18\\ {v_B}^\prime &= \boxed{3,6{\text{ m/s}}} \end{align} $
Karena ${v_B}^\prime$ bernilai positif maka benda B setelah tumbukan bergerak ke kanan.
Selanjutnya, kita substitusikan nilai ${v_B}^\prime$ ke persamaan (2) didapat:
$ \begin{align} {v_A}^\prime - {v_B}^\prime = -8\\ {v_A}^\prime - 3,6 = -8\\ {v_A}^\prime = \boxed{-4,4{\text{ m/s}}} \end{align} $
Karena ${v_A}^\prime$ bernilai negatif maka benda A setelah tumbukan bergerak ke kiri.

e. Solusi
$ \begin{align} {m_A} &= 2{\text{ kg}}\\ {v_A} &= 10{\text{ m/s (ke kanan)}}\\ \end{align} $ $ \begin{align} {m_B} &= 3{\text{ kg}}\\ {v_B} &= 0{\text{ m/s (diam)}}\\ \end{align} $

Langkah 1
$ \begin{align} {m_A}{v_A} + {m_B}{v_B} &= {m_A}{v_A}^\prime + {m_B}{v_B}^\prime \\ 2 \cdot 10 + 3 \cdot 0 &= 2{v_A}^\prime + 3{v_B}^\prime \\ 2{v_A}^\prime + 3{v_B}^\prime &= 20 \ldots (1)\\ \end{align} $

Langkah 2
$ \begin{align} - e &= \frac{{{v_A}^\prime - {v_B}^\prime }}{{{v_A} - {v_B}}}\\ - 0,5 &= \frac{{{v_A}^\prime - {v_B}^\prime }}{{10 - 0}}\\ {v_A}^\prime - {v_B}^\prime &= -5 \ldots (2) \end{align} $

Langkah 3
Kita eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2) × 2
$ \begin{align} 2{v_A}^\prime + 3{v_B}^\prime &= 20\\ 2{v_A}^\prime - 2{v_B}^\prime &= - 10\;\quad - \\ \hline 5{v_B}^\prime & = 30\\ {v_B}^\prime &= \boxed{6{\text{ m/s}}} \end{align} $
Karena ${v_B}^\prime$ bernilai positif maka benda B setelah tumbukan bergerak ke kanan.
Selanjutnya, kita substitusikan nilai ${v_B}^\prime$ ke persamaan (2) didapat:
$ \begin{align} {v_A}^\prime - {v_B}^\prime = -5\\ {v_A}^\prime - 6 = -5\\ {v_A}^\prime = \boxed{1{\text{ m/s}}} \end{align} $
Karena ${v_A}^\prime$ bernilai positif maka benda A setelah tumbukan bergerak ke kanan.

f. Solusi
$ \begin{align} {m_A} &= 2{\text{ kg}}\\ {v_A} &= 10{\text{ m/s (ke kanan)}}\\ \end{align} $ $ \begin{align} {m_B} &= 3{\text{ kg}}\\ {v_B} &= 2{\text{ m/s (ke kanan)}}\\ \end{align} $

Ingat tumbukan tak lenting hanya membutuhkan langkah 1 saja.
$ \begin{align} {m_A}{v_A} + {m_B}{v_B} &= ({m_A} + {m_B}){v^\prime } \\ 2 \cdot 10 + 3 \cdot 2 &= (2 + 3){v^\prime } \\ 5{v^\prime }&=26\\ {v^\prime } &= \boxed{5,2{\text{ m/s }}} \end{align} $
Jadi, setelah tumbukan benda A dan B bergerak bersama-sama dengan kecepatan 5,2 m/s ke kanan.

g. Solusi
$ \begin{align} {m_A} &= 2{\text{ kg}}\\ {v_A} &= 10{\text{ m/s (ke kanan)}}\\ \end{align} $ $ \begin{align} {m_B} &= 3{\text{ kg}}\\ {v_B} &= 0{\text{ m/s (diam)}}\\ \end{align} $

Ingat tumbukan tak lenting hanya membutuhkan langkah 1 saja.
$ \begin{align} {m_A}{v_A} + {m_B}{v_B} &= ({m_A} + {m_B}){v^\prime } \\ 2 \cdot 10 + 3 \cdot 0 &= (2 + 3){v^\prime } \\ 5{v^\prime }&=20\\ {v^\prime } &= \boxed{4{\text{ m/s }}} \end{align} $
Jadi, setelah tumbukan benda A dan B bergerak bersama-sama dengan kecepatan 4 m/s ke kanan.


4. Pada soal nomor 3, tentukan kehilangan energi kinetik dan persentasenya (jika ada), pada poin b, d, dan g! Lalu buatlah kesimpulan.
Pembahasan:
Kasus poin b
$ \begin{align} E{K_{{\text{awal}}}} &= E{K_A} + E{K_B}\\\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot {10^2} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot {4^2}\\\ &= 124{\text{ J}}\ \end{align} $
$ \begin{align} E{K_{{\text{akhir}}}} &= E{K_A}^\prime + E{K_B}^\prime \\\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot {6,8^2} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot {7,2^2}\\\ &= 124{\text{ J}}\ \end{align} $
Karena energi kinetik awal = energi kinetik akhir maka untuk kasus ini tidak ada energi kinetik yang kehilangan.

Kasus poin d
$ \begin{align} E{K_{{\text{awal}}}} &= E{K_A} + E{K_B}\\\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot {10^2} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot {6^2}\\\ &= 154{\text{ J}}\ \end{align} $
$ \begin{align} E{K_{{\text{akhir}}}} &= E{K_A}^\prime + E{K_B}^\prime \\\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot {4,4^2} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot {3,6^2}\\\ &= 38,8{\text{ J}}\ \end{align} $

Energi kinetik yang hilang adalah
$ \begin{align} \Delta EK&=E{K_{{\text{awal}}}} - E{K_{{\text{akhir}}}}\\ &= 154 - 38,8\\ &= \boxed{115,2{\text{ J}}} \end{align} $

Persentase energi kinetik yang hilang adalah
$ \begin{align} \% \Delta EK &= \frac{{\Delta EK}}{{E{K_{{\text{awal}}}}}} \times 100\% \\\ &= \frac{{115,2}}{{154}} \times 100\% \\\ &= \boxed{74,8\% }\ \end{align} $

Kasus poin g
$ \begin{align} E{K_{{\text{awal}}}} &= E{K_A} + E{K_B}\\\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot {10^2} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot {0^2}\\\ &= 100{\text{ J}}\ \end{align} $
$ \begin{align} E{K_{{\text{akhir}}}} &= E{K_A}^\prime + E{K_B}^\prime \\\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot {4^2} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot {4^2}\\\ &= 40{\text{ J}}\ \end{align} $

Energi kinetik yang hilang adalah
$ \begin{align} \Delta EK&=E{K_{{\text{awal}}}} - E{K_{{\text{akhir}}}}\\ &= 100 - 40\\ &= \boxed{60{\text{ J}}} \end{align} $

Persentase energi kinetik yang hilang adalah
$ \begin{align} \% \Delta EK &= \frac{{\Delta EK}}{{E{K_{{\text{awal}}}}}} \times 100\% \\\ &= \frac{{60}}{{100}} \times 100\% \\\ &= \boxed{60\% }\ \end{align} $

Kesimpulan: Pada tumbukan lenting sempurna tidak ada energi kinetik yang hilang, sedangkan pada tumbukan lenting sebagian dan tak lenting ada energi kinetik yang hilang.


5. Perhatikan gambar di bawah ini.

Bola A menumbuk bola B yang sedang diam. Setelah terjadi tumbukan bola A dan B terpental dengan membentuk sudut terhadap horizonltal seperti gambar di atas. Diketahui massa bola A = 2 kg dan massa bola B = 1 kg dan setelah terjadi tumbukan tidak ada energi kinetik yang hilang. Tentukan kecepatan masing-masing benda setelah tumbukan!
Pembahasan:
Kita uraikan dahulu komponen arah kecepatan masing-masing benda sesudah tumbukan.

Arah sumbu y
$ \begin{align} {m_A}{v_{Ay}} + {m_B}{v_{By}} &= {m_A}{v_{Ay}}^\prime + {m_B}{v_{By}}^\prime \\\ 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 &= 2 \cdot {v_A}^\prime \sin 60^\circ + 1 \cdot \left( { - {v_B}^\prime \sin 30^\circ } \right)\\\ \frac{1}{2}{v_B}^\prime &= \sqrt 3 {v_A}^\prime \\\ {v_B}^\prime &= 2\sqrt 3 {v_A}^\prime \ \end{align} $

Arah sumbu x
$ \begin{align} {m_A}{v_{Ax}} + {m_B}{v_{Bx}} &= {m_A}{v_{Ax}}^\prime + {m_B}{v_{Bx}}^\prime \\\ 2 \cdot 7 + 1 \cdot 0 &= 2 \cdot \frac{1}{2}{v_A}^\prime \cos 60^\circ + 1 \cdot {v_B}^\prime \cos 30^\circ \\\ 14 &= \frac{1}{2}{v_A}^\prime + \frac{1}{2}\sqrt 3 {v_B}^\prime \\\ {v_A}^\prime + \sqrt 3 {v_B}^\prime &= 28\\\ \end{align} $
$ \begin{align} {\text{karena }}{v_B}^\prime &= 2\sqrt 3 {v_A}^\prime {\text{ maka:}}\\\ {v_A}^\prime + 6{v_A}^\prime &= 28\\\ 7{v_A}^\prime &= 28\\\ {v_A}^\prime &= \boxed{4{\text{ m/s}}}\\\ {\text{dan }}{v_B}^\prime &= 2\sqrt 3 {v_A}^\prime\\\ {v_B}^\prime &= \boxed{8\sqrt 3 {\text{ m/s}}}\ \end{align} $


6. Perhatikan gambar di bawah ini.

Sebuah peluru bermassa 10 g ditembakkan ke dalam suatu ayunan balistik bermassa 1,49 kg. Pada saat ayunan mencapai tinggi maksimum, kawat membentuk sudut ${60^\circ }$ dengan vertikal (lihat gambar). Panjang kawat ayunan adalah 0,2 m. Jika $g = 9,8{\text{ m/}}{{\text{s}}^2}$ maka kelajuan peluru yang ditembakkan adalah…
Pembahasan: 
$ \begin{align} {m_p} &= 10{\text{ gram = 0}}{\text{,01 kg}}\\\ {m_b} &= 1,49{\text{ kg}}\\\ L &= 0,2{\text{ m}}\ \end{align} $
$ \begin{align} {v_b} &= 0\\\ {v_p} &= ...?\\\ \end{align} $
$ \begin{align} h &= L\left( {1 - \cos \theta } \right)\\\ &= 0,2\left( {1 - \cos 60^\circ } \right)\\\ &= 0,1{\text{ m}}\\\ \end{align} $
$ \begin{align} {m_p}{v_p} &= \left( {{m_p} + {m_b}} \right)\sqrt {2gh} \\\ {v_p} &= \frac{{\left( {0,01 + 1,49} \right)\sqrt {2 \cdot 9,8 \cdot 0,1} }}{{0,01}}\\\ &= \boxed{210{\text{ m/s}}}\ \end{align} $


7. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 4 m. Pada pantulan pertama, bola itu mencapai ketinggian 2 m. Tentukan ketinggian pantulan bola pada pantulan kedua!
Pembahasan: 
$ \begin{align} \sqrt {\frac{{{h_2}}}{{{h_1}}}} &= \sqrt {\frac{{{h_3}}}{{{h_2}}}} \\\ {h_3} &= \frac{{{h_2}^2}}{{{h_1}}}\\\ {h_3} &= \frac{{{2^2}}}{4} = \boxed{1{\text{ m}}}\ \end{align} $


8. Sebuah peluru bermassa 10 gram ditembakkan ke sebuah balok yang diam di atas lantai kasar dengan koefisien gesekan kinetik 0,5. Kecepatan peluru tersebut 200 m/s dan massa balok 1,99 kg. Ternyata peluru tersebut tertancap di dalam balok. Tentukan jarak maksimum yang ditempuh balok tersebut! $\left( {g = 9,8{\text{ m/}}{{\text{s}}^2}} \right)$
Pembahasan:
Karena peluru tertancap di dalam balok maka ini termasuk kasus tumbukkan tak lenting. $ \begin{align} {m_p}{v_p} + {m_b}{v_b} &= \left( {{m_p} + {m_b}} \right)v'\\\ 0,01 \cdot 100 + 1,99 \cdot 0 &= \left( {0,01 + 1,99} \right)v'\\\ v' &= 1{\text{ m/s}}\\\ \end{align} $
Setelah peluru dan balok bergerak bersama-sama maka perubahan energi kinetik sistem diubah menjadi usaha oleh gaya gesek.
$ \begin{align} - {W_{{\text{gesek}}}} &= \Delta EK\\\ - {\mu _k} \cdot {{{m_{{\text{total}}}}}} \cdot g \cdot s &= \frac{1}{2}{{{m_{{\text{total}}}}}}\left( {{v_t}{{^\prime }^2} - {{v'}^2}} \right)\\\ - 0,5 \cdot 10 \cdot s &= \frac{1}{2}\left( {{0^2} - {1^2}} \right)\\\ s &= \boxed{0,1{\text{ m}}}\ \end{align} $